Stošić je rođen u Zagrebu 1935. Diplomirao je 1963. na Filozofskom fakultetu u Zagrebu. Bio je zaposlen u Institutu za povijest umjetnosti u Zagrebu od 1967. do umirovljenja 2000. godine.

Bavio se istraživanjem hrvatske starokršćanske, srednjovjekovne i renesansna sakralne umjetnost, poglavito predromaničkog i romaničkog razdoblja od Istre do Kotora i njezinih najistaknutijih spomenika - zagrebačke katedrale, trogirske katedrale i njezina Radovanovog portala, katedrale u Šibeniku te srednjovjekovnog urbanizma i spomenika Dubrovnika, stoji u priopćenju Društva povjesničara.

Surađivao je u izradi fundamentalne arhitektonske i fotografske dokumentacije i cijelog niza konzervatorskih studija i elaborata zaštite spomenika, vodio istraživanja dubrovačke katedrale i župne crkve sv. Marije u Čazmi.

Posebno valja istaknuti istraživanje dubrovačke katedrale i Bunićeve poljane. Ranih 70-ih vodio je snimanja i istraživanja kasnoantičkog kompleksa u Mirinama na otoku Krku.

Značajna su njegova istraživanja i vodstvo snimanja romaničke katedrale u Trogiru kao i njezina Radovanovog portala, zatim benediktinskog samostana i crkve na otoku Mljetu, kao i niza sakralnih objekata u priobalnoj Hrvatskoj i na otocima. Pri svojim istraživanjima nije zaobišao ni sjevernu Hrvatsku, gdje su osobito značajna njegova istraživanja u crkvi sv. Marije Magdalene u Čazmi te sv. Vinka i sv. Ilije na Meraji u Vinkovcima, ističu iz DPUH-a.

Navode da je Stošić bio prvi urednik časopisa Radovi Instituta za povijest umjetnosti.

1951. samostalno je izdao prvu knjigu konkretne poezije na tlu bivše Jugoslavije Đerdan, koja je iste godine bila zabranjena. Bavi se konkretnom poezijom, likovnim ustrojem riječi na plohi, suodnosom predmeta i riječi ("A", 1969; Premetaljka, 1971).

Primio je Povelju Društva povjesničara umjetnosti za 2007. i počasni je građanin grada Čazme.

Posljednji ispraćaj Josipa Stošića bit će na zagrebačkom Krematoriju u petak, 17. srpnja u 12,30 sati, stoji u priopćenju DPUH-a.