Odigrao je više od stotinu uloga u svojoj desetljećima dugoj glumačkoj karijeri, no ostao je zapamćen po ulozi Shermana T. Pottera, simpatičnog zapovjednika vojne bolnice za koju je dobio i Emmy. U seriji M.A.S.H. prvi se put pojavio 1974. u kratkoj ulozi poludjelog generala. No njegov je nastup toliko impresionirao producente da su posebno za njega stvorili lik pukovnika Shermana Portera, koji je počeo tumačiti od 1975. godine.

Glumačku je karijeru započeo pod svojim pravim imenom Harry Bratbsburg, a 1937. se priključio uglednoj kazališnoj družini Group Theatre gdje je surađivao s velikanima kao što su Elia Kazan, Lee J. Cobb i Karl Malden. Pedesetih je surađivao s redateljem Anthonyjem Mannom, a glumio je i uz legende velikog platna poput Garyja Coopera, Grace Kelly, Jamesa Stewarta, Johna Waynea, Henryja Fondu i druge.

Morgan se dvaput ženio. S prvom ženom Eileen Detchon bio je u braku od 1940. do njezine smrti 1985. Od 1988. bio je u braku s Barbarom Bushman Quine.

Njegov sin Charles potvrdio je vijest o smrti rekavši da se nedavno liječio od upale pluća. U 96. godini Morgan je bio jedan od najstarijih živućih holivudskih glumaca.