Vukčević je rođen 15. rujna 1941. u Kninu, a za Hajduk je nastupio 402 puta. Pored Hajdukova dresa, koji je nosio od 1963. do 1973. godine, još je čuvao vrata Dinare iz Knina od 1957. do 1963. te francuskog Ajaccia od 1973. do 1975. godine. S Hajdukom je osvojio prvenstvo Jugoslavije u sezoni 1970/71., kao i kup u sezoni 1966/67. i 1972. godine.

Na golu reprezentacije Jugoslavije debitirao u prijateljskoj utakmici protiv Nizozemske u Rotterdamu 1. studenog 1967. (2-1), a od reprezentativnog se dresa oprostio u Sarajevu 22. rujna 1971. godine u prijateljskoj utakmici protiv Meksika (4-0). Sudionik je Europskog prvenstva 1968. godine u Italiji gdje je bio dio reprezentacije Jugoslavije koja je osvojila srebrnu medalju.

Za seniorsku momčad Hajduka debitirao je 1963. godine, a bio je na golu i nezaboravne 1967. godine kada Hajduk prvi put osvaja kup pobjedom nad Sarajevom u Splitu sa 2-1, kao i 1971. kada Hajduk nakon šesnaest godina osvaja naslov državnog prvaka.

Radomir Vukčević posebno je bio ponosan što je branio gol državne reprezentacije 18. srpnja 1971. godine na brazilskoj Marakani pred 200.000 ljudi na oproštaju slavnog Pelea. Tada su Brazil i Jugoslavija igrali 2-2, a Jurica Jerković je postigao zgoditak za pamćenje.

Vukčević je pripadao jednoj generaciji Hajduka koja je u nogometnom smislu prošla Scile i Haribde, gotovo potonuvši u drugu ligu, da bi se nakon nekoliko godina vinula do osvajanja kupa, a potom i do državnog prvenstva. Bila je to "bijela" uvertira u godine koje će slijediti i u kojima će Hajduk harati jugoslavenskim nogometom gotovo cijelo sedmo desetljeće. Međutim, Vukčević je uvijek isticao momčad i feštu iz 1971. koja se, kako je govorio, više nikada neće ponoviti.

Radomir Vukčević, bio je i trener vratara u školi nogometa RNK Split.

Komemoracija u povodu smrti Radomira Vukčevića, održati će se u Hajdukovoj kino Sali u ponedjeljak, 1. prosinca u 12 sati, a sahrane istoga dana u 14.15 sati na groblju Lovrinac.