Bešker je rođen 30. siječnja 1950. godine. Maturirao je u Klasičnoj gimnaziji 'Natko Nodilo' u Splitu, diplomirao novinarstvo na Fakultetu političkih znanosti u Zagrebu te doktorirao poredbenu slavistiku na Sveučilištu u Milanu, piše Jutarnji list.

U novinarstvu je svojim tekstovima obogatio stranice brojnih izdanja, a osim Slobodne Dalmacije i Jutarnjeg lista, za koje je pisao do posljednjeg dana, radio je za Omladinski tjednik, Studentski list, Telegram, Start, Vjesnik, BBC, Radio 101 i druge.

Bio je i redoviti profesor kroatistike na Sveučilištu u Splitu od 2013., profesor slavistike na Orijentalnom sveučilištu u Napulju, na Sveučilištu La Sapienza u Rimu te na Sveučilištu u Bologni. Predavao je i istraživačko novinarstvo na Sveučilištu u Zagrebu. Autor je i niza knjiga te dobitnik brojnih nagrada, Nagrade 'Otokar Keršovani' za životno djelo u novinarstvu, Nagrade Slobodne Dalmacije za životno djelo u novinarstvu i Nagrade 'Miljenko Smoje' za novinara godine 2002.

Dobio je i nagradu za najbolji komentar u tisku 2002. te za najbolji komentar na internetu 2006., nagradu Kiklop za knjigu 'Filološke dvoumice' 2007. i HHO-vu Nagradu 'Joško Kulušić' za zaštitu ljudskih prava.