Bjažić je rođen na Zlarinu 26. siječnja 1924. godine. Studirao je na Višoj pedagoškoj školi i na Filozofskom fakultetu u Zagrebu. Radio je kao novinar i urednik dječjih listova, a od 1960. do 1979. godine bio je urednik dječjega radijskog i televizijskoga programa na RTV Zagreb.

Pisao je pjesme za djecu i odrasle, priče, romane, igrokaze, radiodrame, mjuzikle, putopise, reportaže, zagonetke, recenzije, scenarije. Bio je zastupljen u antologijama hrvatske dječje poezije i u hrvatskim čitankama. Njegova je književna djelatnost uglavnom bila namijenjena djeci ('Sjenica', 1951; 'Dok more bjesni', 1956; 'Fali more drž’ se kraja', 1978; 'Od admirala do ždrala', 1979; 'Patrolni čamac', 1987; 'Svjetliji svijet', 1990; 'Tata nema vremena', 1990; 'Opasno po život', 1993; 'Ispo leroja', 1998; 'Zlarinski čaiku', 2004; 'Nevere i bonace', 2007. i dr.) te znanstvenofantastične i kriminalističke romane u koautorstvu sa Z. Furtingerom ('Osvajač 2 se ne javlja', 1959; 'Svemirska nevjesta', 1960; 'Zagonetni stroj profesora Kružića', 1960; 'Ništa bez Božene', 1970. i dr.).

Bjažić je prvi dobitnik nagrade za životno djelo 'Andrija Maurović' za izniman doprinos razvoju hrvatskog stripa, koju dodjeljuje Udruga za popularizaciju hrvatskog stripa Art 9. Inicijator je i urednik prvih poslijeratnih strip-sveski, a bio je prvi urednik 'Vjesnikova' strip-zabavnika 'Petko'. Godine 1954. pokrenuo je 'Plavi vjesnik'.

Prije pet godina u Gradskoj je knjižnici Juraj Šižgorić u Šibeniku predstavljeno je posljednje djelo iz pera Mladena Bjažića 'Ma da ne bi', koje je autor posvetio preminulom prijatelju i dugogodišnjem suradniku Milivoju Zeniću.