Cvejić je rođen u Beogradu 25. kolovoza 1946. godine, a maturirao je u Petoj beogradskoj gimnaziji 1965. i iste godine upisao glumu na Fakultetu dramskih umjetnosti u Beogradu.

Zajedno sa cijleom novom generacijom glumaca na poziv Bojana Stupice postaje član JDP-a u svinju 1967. godine.

U matičnoj kući odigrao je više od 50 uloga, gostovao je i na drugim kazališnim scenama, među ostalim i u beogradskom u Zvezdara teatru, u čijem je osnivanju i sam sudjelovao. Bio je direktor JDP-a od 2002. do kraja 2011. godine, a kao pomoćnik direktora bio je angažiran i u razdoblju 1986–1999. godine.

Glumio je u više od 40 cjelovečernjih igranih filmova i ostvario niz značajnih uloga u TV serijama, filmovima i dramama. Branko Cvejić pripada generaciji srpskih i jugoslavenskih kazališnih, filmskih i televizijskih glumaca koja je, krajem šezdesetih godina prošlog toljeća, osvojila, potpuno preuzela i radikalno izmjenila izgled dotadašnjeg glumišta.

Doprinos Branka Cvejića toj glumačkoj revoluciji kulminirao je u televizijskoj seriji, kao i kasnijem filmskom nastavku, 'Grlom u jagode', autora Srđana Karanovića i Rajka Grlića, kojom je obilježen taj stilski preokret. Uloga Baneta Bumbara u seriji 'Grlom u jagode' učinila je Branka Cvejića jednim od vodećih dramskih umjetnika svoje generacije i ondašnje Jugoslavije. Datum i vrijeme komemoracije bit će naknadno objavljeni, navedeno je u priopćenju JDP-a.